Pessoal,
Acabei de ver
esse vídeo no Twitter e achei bem interessante.
Então resolvi relembrar umas coisas do segundo grau sobre trigonometria.
Achei esse video bem legal porque mostra a relação entre seno, cosseno, eixo das ordenadas (y ou eixo dos senos), das abcissas (x ou eixo dos cossenos), ou seja, a relação dos ângulos com o sistema cartesiano. Não me lembrava da maioria dessas coisas (e algumas nem me lembro de ter aprendido...).
Relembrando!
Todo mundo lembra dessas figuras aqui de baixo, certo?
A figura da esquerda é um triângulo retângulo, ou seja, um dos lados forma um ângulo reto (90 graus). A da direita é um triângulo escaleno qualquer, ou seja, os três lados (e por consequência os três ângulos) possuem medidas diferentes. Ainda temos o triângulo equilátero, que tem os três lados iguais e os três ângulos iguais - 60 graus -, e o triângulo isósceles, que tem dois lados iguais e dois ângulos iguais, por consequência.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo SEMPRE será 180 graus, podemos classificar os triângulos em 3 tipos:
O triângulo retângulo tem um ângulo interno de 90 graus, o acutângulo tem todos os ângulos internos menores que 90 graus e o obtuso tem um ângulo maior que 90 graus (obviamente apenas um ângulo, pois se houvesse mais de um ângulo com mais de 90 graus, a soma dos ângulos internos do triângulo seria maior que 180 graus).
Primeiramente, como sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 graus? Simples. Pegue um triangulo qualquer e trace uma reta paralela a um dos lados.
Na figura acima, repare que na reta faz uma interseção com o ponto A e é paralela ao segmento BC (sim, vamos definir que essa reta É paralela ao segmento BC). Ao colocar os ângulos no interior do triângulo e os ângulos formados com a reta, temos isso:
Ora, repare agora que os ângulos θ e β são ângulos alternos internos no segmento AB. Assim, são congruentes (ângulos congruentes são ângulos que possuem a mesma medida, ou seja, são iguais). O mesmo acontece com os ângulos λ e γ formados se segmento AC. Assim, os ângulos θ e β são iguais entre si e, do mesmo modo, os λ e γ também o são. Desse modo a figura pode ser desenhada assim:
Desse modo, a soma dos ângulos θ + α + λ é igual a soma de β + α + γ. E essa soma é 180 graus (ângulo raso)!
Voltando a esse triângulo:
Todo mundo se lembra dessa figura de um triângulo retângulo, né? Seno, cosseno e tangente são assim definidos no triângulo retângulo:
sen α = cateto oposto
hipotenusa
cos α = cateto adjacente
hipotenusa
tan α = cateto oposto
Essas relações vêm das Leis do Seno e Cosseno e valem apenas para o triângulo retângulo.
A Lei do Seno determina que num triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.
Assim, na figura acima, o lado oposto ao ângulo "A" é o segmento de reta "a", o lado oposto ao ângulo "B" é o segmento de reta "b" e lado oposto ao ângulo "C" é o segmento de reta "c". A Lei do Seno demonstra que em um mesmo triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante. E essa constante é igual a duas vezes o raio de uma circunferência onde este triângulo está inscrito. Isso é representado abaixo:
a = b = c = 2R
senA senB senC
Já a Lei dos Cossenos é um pouco mais complicada. Essa lei diz que em um triângulo qualquer o quadrado da medida de um dos lados corresponde a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos o dobro do produto da medida desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre esses dois lados.
Ufa...
Fica mais claro quando vemos a figura e a relação abaixo:
Para resolver isso, usamos uma tabela trigonométrica. Veja essa tabela, dos ângulos 1 a 90,
aqui. Esse site
aqui calcula diversas relações trigonométricas no triângulo. Confira porque é bem legal!
Interessante é a relação entre o Teorema de Pitágoras e a Lei dos Cossenos! Como o cosseno de um ângulo de 90 graus é zero (veja a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis abaixo), essa segunda parte da equação do cosseno é zero. Veja abaixo:
a² = b² + c² - 2.b.c.cos90
Como cos 90º = 0, a expressão acima fica:
a² = b² + c² - 2.b.c.0
a² = b² + c²
Ou seja, o Teorema de Pitágoras é um caso especial da Lei dos Cossenos!
Já Lei das Tangentes define a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo qualquer e os comprimentos dos lados opostos a esses ângulos.
Por essa lei, dado o triângulo abaixo com lados a, b e c e ângulos α, β e γ:
Como dito mais cedo, em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo qualquer é a relação entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente. Se a figura acima fosse um triângulo retângulo cujo ângulo reto fosse o ângulo α, a tangente do ângulo β seria:
tan β = cateto oposto = b
cateto adjacente c
Já para um triângulo qualquer que não seja retângulo, podemos calcular a tangente através da razão entre o seno e o cosseno do ângulo desejado:
A Lei das Tangentes pode ser assim representada:
a−b =
tg [1/2(α−β)] a+b tg [1/2(α+β)]
Na minha época de colégio, a gente decorava uma mini-tabela trigonométrica com os "ângulos notáveis", ou seja, 0, 30, 45, 60 e 90 graus. Era isso aqui abaixo:
Matemáticos acreditam que a trigonometria surgiu como necessidade para calcular o relógio de sol e resolver problemas astronômicos e de navegação.
Eratótenes descobriu, há mais de 2200 anos, que a terra era redonda e calculou seu diâmetro (com pequeno erro) usando trigonometria básica!
Como a trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos dos triângulos, é utilizada na matemática, física, astronomia, engenharia, geografia, química, medicina, etc.
Voltando ao início desse post, no vídeo o seno e cosseno são representados num círculo, o "círculo trigonométrico".
Esse círculo deixa claro algumas coisas e deixa "visível" os valores presentes nas tabelas trigonométricas, principalmente a com os ângulos notáveis. Repare que a medida que um ângulo A aumenta de 0 até 90 graus, a representação de uma reta que sai da posição (0,0) nesse ângulo (ou seja 0, 1, 2, ..., 89, 90 graus), haverá uma redução de 1 até zero no valor do cosseno, haverá um aumento de zero até 1 no seno e a tangente aumentará de 0, será 1 em 45 graus (fora do círculo) e continuará aumentando até o infinito, pois o eixo das tangentes é paralelo ao dos senos e duas retas paralelas só se encontram no infinito!
Quando rodamos todo o círculo trigonométrico (sentido anti-horário, de 0 graus até 360 graus), vemos que tanto o seno quanto o cosseno fazem movimentos periódicos, conforme as figuras abaixo. Só um detalhe: chamamos o movimento periódico do seno de senoide ou onda sinusoidal e o movimento periódico do cosseno de cossenoide ou onda cossenoidal.
O gráfico da tangente também é um gráfico periódico. Ao contrário do seno e cosseno cujos valores variam de -1 a 1, os valores da tangente variam do infinito negativo ao infinito positivo.
Por fim, concluindo o vídeo, é mostrada a primeira relação fundamental da Trigonometria:
sen² x + cos² x = 1
Olhando as figuras das ondas sinusoidal e cossenoidal, fica claro essa relação:
Para a demonstração dessa relação, podemos usar o círculo trigonométrico:
Assim, nesse triângulo, temos que:
sen α = cateto oposto = AB = AB
hipotenusa 1
cos α = cateto adjacente = CB = CB
hipotenusa 1
Aplicado o teorema de Pitágoras:
AB² + CB² = AC²
sen² x + cos² x = 1²
sen² x + cos² x = 1
Realmente, a matemática é uma coisa muito legal!
Até a próxima, pessoal!
